Ничего не имею против весны и начала лета, если покататься в Крыму или Карпатах на высотах 1000-1500, максимум 2000м. Хотя тот же июнь в горах обычно дождливый месяц(и Карпаты и Кавказ). Но если ожидаются более высокогорные участки и перевалы 2500+ как на Кавказе(Алтай), то этот период года не очень годится для подобных поездок. Вспомни, что нас ждало на подъезде к перевалу Муху, например...
Я бы еще не против прокатиться по плоскогорьям и первалам севернее Эльбруса и вокруг него, но там местами высоты переваливавают за 3000м! Потому однозначно не в мае и не в начале июня туда ехать имеет смысл.